The Adessif reference article from the French Wikipedia on 27-Jul-2004
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Adessif

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En linguistique, l'adessif est le cas exprimant la position en un lieu ouvert (par opposition à l'inessif) ou à proximité immédiate de quelque chose.

Exemples:

Noter qu'en finnois, ce cas est aussi celui de la possession : minulla on <-> j'ai. On pourrait même dire que cette utilisation prime sur le sens positionnel figé dans l'étymologie du nom du cas, sans qu'on puisse clairement établir le sens d'une éventuelle dérivation. Cette relation entre deux interprétations (position superficielle et possession) se retrouve avec cohérence dans les cas voisins, allatif et ablatif.