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Algèbre linéaire

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L'algèbre linéaire est la branche des mathématiques, qui s'occupe de l'étude des vecteurs, des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), des transformation linéaires et des systèmes d'équation linéaires. Les espaces vectoriels sont un thême central des mathématiques modernes, ainsi l'algèbre linéaire est largement utilisée an algèbre abstraite ou en analyse de fonction. L'algèbre linéaire a aussi une représentation concrète en géométrie analytique est des applications étendues aux sciences naturelles ou sociales.


Histoire

L'histoire de l'algèbre linéaire moderne commence dans les années 1843 et 1844. En 1843 William Rowan Hamilton (inventeur du terme vector) découvre les quaternions. En 1844, Hermann Grassmann publie un livre Die lineare Ausdehnungsleshre.

Présentation élémentaire

L'algèbre linéaire commence par l'étude de vecteurs dans les espaces cartésiens de dimension 2 et 3. Un vecteur, ici, est une segment de droite caractérisé à la fois par sa longeur (ou magnitude) et sa direction. Les vecteurs peuvent alors être utilisés pour représenter certaines entités physiques comme des forces, additionnés ou multipliés par des scalaires formant ainsi le premier exemple d'un réel espace vectoriel.

L'algèbre linéaire moderne a été étendu pour considérer les espaces de dimension arbitraire ou infini. Un espace vectoriel de dimension n est appellé un n-espace. La plupart des résultats obtenus dans les 2-espaces et 3-espaces peuvent être étendus aux espaces de dimensions supérieures. Bien que beaucoup de personnes ne peuvent appréhender correctement un vecteur dans un n-espace ils sont utiles pour représenter des données. Les vecteurs étant des listes ordonnées à n composants, la plupart des personnes peuvent manipuler des données efficacement dans cet environnement. Par exemple en économie on peut crééer et utiliser des vecteurs à 8 dimensions pour représenter le produit national brut de huit pays. On peut alors décider le PNB des 8 pays à une date donnée ou l'ordre des pays est ordonné.

Quelques théorèmes

Tout espace linéaire possède une base.

Voir aussi