Calculs relativistes
Pour passer de :
D'abord indiquons que les transformations inverses qui donnent les coordonnées dans R en fonction des coordonnées dans R' sont simplement:
Et inversement :
Si on considère un premier événement observé en t'=0, x'=0,y'=0,z'=0 , il est facile de voir que les transformations de Lorentz indiquent que cet événement observé dans R a pour coordonnées t=0, x=0,y=0, z=0 ;
La contraction des longueurs:
Mesurer une longueur M1M2 revient à repérer dans un système de coordonnées les deux extrémités M1 et M2 ;
Cela ne pose pas de problème si celles ci ne bougent pas dans le temps ; par contre si elles se déplacent à la même vitesse v, il faudra repérer ces deux extrémités simultanément.
Ainsi un coureur R' de 100m va s'autochronométrer avec sa montre un temps propre de To'=10s sur une piste de Lo= 100m dans R : pour le coureur, la piste qui défile à la vitesse v sous ses enjambées ne fait pas 100 m elle est contractée L'=Lo/γ ; par contre pour le juge de piste la piste est immobile par rapport à lui ; elle fait Lo=100m en longueur propre et le temps est T=γTo c'est à dire dilaté.
Le coureur et le juge ne sont d'accord ni sur le temps ni sur la distance, mais sont d'accord sur la vitesse v = L'/To'= Lo/T.
Bien sûr, aux vitesses d'un coureur de 100m, toutes ces différences sont imperceptibles.
Les effets relativistes ne sont perceptibles que à l'échelle nucléaire ou à l'échelle galactique.
Soient deux référentiels, celui du laboratoire au repos, et en translation rectiligne uniforme par rapport au premier référentiel suivant l'axe des x positifs à la vitesse v.
Nous considérons un horloge au repos dans au point O', émettant deux clocks, nous considérons donc les évènements suivants dans : et
Nous nous plaçons dans les conditions évoquées au précédent paragraphe. Nous considérons une règle au repos dans , de longueur au repos. Les coordonnées de ses extrémités sont et . Les évènements de ses extrémités sont : et , car il faut observer simultanément ces évènements dans . Nous considérons les évènements et , on obtient dans :
Les transformations de Lorentz sont :
Ou le paradoxe des jumeaux :
On considère R' le référentiel du voyageur qui se déplace à 3/5 c ce qui donne une dilatation du temps de
Supposons maintenant que O' fasse demi tour au bout d'un an temps propre pour lui :
On obtient en insérant dans (4) et en divisant par pour obtenir des fréquences :
En relativité restreinte, nous avons un invariant qui a pour dimension une longueur (que nous appelons longueur propre) :
Pour exprimer la dynamique il suffit de considérer une masse m et de former comme en mécanique classique l'impulsion qui est le produit de la masse par la vitesse, en mécanique relativiste, nous formons le produit de la masse par la quadri-vitesse :
Dans le référentiel au repos nous avons soit:
Exemple:
si on a m1 qui vient cogner m2, on écrira en relativité restreinte:
L'équation de conservation de la charge électrique s'écrit :
Les équations de Maxwell s'écrivent sous forme vectorielle
Les transformations de Lorentz:
presque tout se déduit de ces transformations, ce qui fait dire que , en Relativité Restreinte, il vaut mieux se fier aux résultats du calcul que de faire des raisonnements « fumeux » ! Noter que les transformations ci dessus sont identiques aux transformations de Galilée pour les vitesses usuelles et cependant détruisent la notion du temps universel puisque celui ci devient dépendant du référentiel: le temps varie comme la position varie.
Le temps est une coordonnée pour exprimer les lois de la physique et celles ci deviennent covariantes lorsque on les exprime avec un espace à 4 dimensions (ct, x, y, z);
On va donc ci dessous développer une page calculs permettant de déduire des conséquences :Les transformations inverses de Lorentz et la pseudonorme:
Ceci est la façon matricielle d'écrire une transformation de Lorentz.
On repère un événement par les coordonnées d'un vecteur dans un repère à 4 dimensions c temps-espace
on montre facilement que:
ceci est appelé la pseudo - norme du quadrivecteur position d'un événement repéré dans l'espace temps à 4 dimensions : noter que cette quantité ne dépend pas du référentiel et constitue donc un invariant.
vous pouvez constater que si vous remplacez x' et t' par leurs expressions données plus haut en fonction de x et t , vous obtenez x= x et t = t ce qui signifie que les formules ci dessus sont ce que l'on appelle des formules inverses de celles écrites plus haut; les mathématiciens expriment cela en disant que cette propriété est une des propriétés requises pour que les transformations de Lorentz forment un groupe: la principale conséquence étant que la composition de deux transformations de Lorentz est une transformation de Lorentz.la dilatation du temps et la contraction des longueurs
Si on considère un événement observé en t'=T', x'=0,y'=0, z'=0 , il est facile de voir que les transformations de Lorentz indiquent que cet événement observé dans R a pour coordonnées t=γ (T'), x=γ (vT'),y=0 z=0
Le résultat classique serait (c T', v T', 0, 0) donc sans le facteur γ qui, rappelons le, vaut 1 pour les vitesses terrestres usuelles.
Ce facteur a, pour un avion, une valeur approchée de 1 + v²/2c² soit 1+10^(-10) =1.0000000001
Quelques microsecondes sur un an de vol de supersonique! Difficile de croire à la réalisation d'une mesure de la dilatation du temps en comparant l'indication d'horloges demeurées au sol à l'indication d’horloges emportées sur un avion. Néanmoins les chercheurs travaillant sur les particules produites dans les synchrotrons vivent quotidiennemnt l'effet de la dilatation du temps T= γ T'
On constate que si le positionnement est simultané dans R', il ne l'est pas dans R (au passage on constate la relativité de la simultanéité).
Il faut donc ramener le point M2 là où il était à t=0 et donc faire ( γ L'- γ vL'/c² v) = L'/ γ
On constate que M1M2 en mouvement est plus court lorsque sa mesure est faite dans un référentiel dans lequel M1M2 est en mouvement.La dilatation des durées
La contraction des longueurs
Déterminons pour que ces évènements soient simultanés dans , il faut que :
La longueur de la règle s'exprime :
soit :
La composition des vitesses
Nous savons dans la vie quotidienne que les vitesses s'ajoutent. Prenons un exemple concret, je prends le métro, et je marche à 5 km/h sur un tapis roulant allant dans le même sens à 4 km/h. Ma vitesse par rapport au sol est de 9km/h. Nous allons voir comment obtenir la formule de composition des vitesses galiléenne, puis relativiste.
en différenciant, on obtient:
le quotient donne : la loi de composition classique
en différenciant, on obtient:
le quotient donne :
Soit: la loi de composition relativisteLe voyage dans le futur des autres
(a.l. signifie année lumière ou distance parcourue par la lumière en un an )
Il faut donc à chacun, et la situation est symétrique pour O et O', le double de temps pour visionner en « direct » la vie de l'autre tant que ni l'un ni l'autre ne modifie son mouvement.
Par effet Doppler les émissions sont reçues au ralenti avec un facteur (1+v/c) = 8/5 qui combiné avec la dilatation du temps 5/4 donne
Noter que O' a fait demi tour dans un espace contenant les ondes qui se propagent vers O .
et donc O reçoit le retour de O'en accéléré en 6 mois.
Pour bien percevoir l'effet relativiste, il faut voir ce que donnerait le formalisme classique:
le facteur de l'effet Doppler demeure; l'aller est percue en ralenti avec le facteur et le retour en accéléré avec le facteur sans le facteur spécifiquement relativiste de dilatation du temps
Optique relativiste
Nous obtenons les relations transformant les angles :
=\\theta'.png)
.
La relation inversée donnant la transformation du cos donne :
Si est à droite de , on a, le soutce s'éloigne et on a , décalage vers le rouge :
Le quadrivecteur vitesse
On peut calculer une vitesse en formant le rapport d'une distance par un temps :
Ces relations peuvent s'écrire différemment si en calculant
on constate que :
où:
La dynamique
La pseudonorme étant un invariant, on va pouvoir l'égaler à elle même en la calculant dans différents référentiels avant et après un choc événement.
obtenant la formule la plus célèbre de la physique:référentiels particuliers
On considère le référentiel où la cible 2 est au repos dit du laboratoire SLles chocs aux hautes énergies
La principale confirmation de la relativité est aujourd'hui facilement illustrée par ce qu'on appelle la physique des particules ou encore des hautes énergies. Particule élémentaire
Les accélérateurs de particules frappent par la dimension des installations ; ce sont des tubes à vide de plusieurs kilomètres en forme d'anneau dans lequel sont injectés des 'paquets' de protons qui circulent à grandes vitesses après avoir été accélérés par des champs électriques et déviés par des champs magnétiques qui leur imposent de rester à tourner dans le tube.
Ainsi il est possible de faire des chocs de protons contre des protons à hautes énergies.
Pseudonorme du tout donne la masse totale= exprimée dans SL avec m1 et m2 et Ec1
alors que ce serait le cas classiquement:Le défaut de masse
Lors d'une désintégration radioactive la masse des particules formées est inférieure à la masse initiale: la réaction a produit de l'énergie: elle est exoénergétique.
Les lois de l'électromagnétisme
La force de Lorentz s'écrit :
Écrites dans le formalisme de Lorentz avec des quadrivecteurs, elles se simplifient.
On définit le quadri-potentiel électromagnétique :
Les transformations des composantes du champ électromagnétique s'écrivent :
Les équations contenant les sources (1) et (4) s'écrivent dans la formulation covariante :
Les équations (2) et (3) s'écrivent :
Autres ébauches
Voir aussi