Ensemble
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2 Approche formelle |
Les ensembles sont des objets mathématiques, que l'on peut voir comme une "collection d'objets", comme un sac contenant des objets. Les objets à l'intérieur de l'ensemble sont appelés éléments.
Lorsque l'on peut nommer les éléments de l'ensemble un par un, on peut désigner l'ensemble en écrivant les éléments entre accolades, séparés par des virgules ; par exemple, l'ensemble des chiffres en base 10 est
Approche vulgarisée
Sinon, un ensemble est désigné en général par une lettre romane majuscule, par exemple l'ensemble E. L'ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l'ensemble vide, et est noté {} ou bien Ø.
L'intérêt de définir des ensemble est de regrouper des objets ayant des propriétés communes, par exemple les nombres, ou bien les fonctions trigonométriques, ou bien les points du plan en géométrie... On peut ainsi étudier les relations entre les éléments, et les relations des éléments d'un ensemble avec ceux des autres ensembles.
Par exemple, pour l'ensemble des nombres entiers naturels {0, 1, 2, 3, ..., 9, 10, 11, ...}, noté , on peut définir une relation d'ordre
- 0 < 1 < 2 < 3 ...
Mais, outre les propriétés de leurs éléments, on étudie les ensembles en tant que tels, c'est-à-dire indépendamment des éléments qui les contiennent. C'est ainsi que l'on définit par exemple la réunion de deux ensembles (on met le contenu des deux sacs dans un même sac), ou bien l'isolement d'une partie des éléments d'un ensemble (sous-ensemble). On peut compter le nombre d'éléments que contient l'ensemble (toujours sans s'occuper de la nature de ces éléments), et l'on appelle ce nombre dle cardinal de l'ensemble. On peut ainsi réaliser des opérations sur les ensembles.
Les ensembles sont étudiés par la théorie des ensembles (algèbre abstraite).
Liens à garder:
Approche formelle
A définir: (certains concepts sont déjà définis sur théorie naïve des ensembles.
- Un ensemble est une collection d'objets
- définition de Cantor "a many that can be thought of as a one" -- une multitude qui peut être imaginée comme un tout
- concepts de base (les éléments, les sous-ensembles, l'ensemble vide) -- théories "naïves" des ensembles
- les diagrammes de Venn
- Russel & Whitehead: reconstruction des mathématiques avec la notion de l'ensemble à la base
Paradoxe de Russell
Le mathématicien Bertrand Russell proposa en 1901 de considérer l'ensemble des ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes.
Soit M cet ensemble. Formellement, A est un élément de M si et seulement si A n'est pas un élément de lui-même.
Faisons l'hypothèse que M se contient lui-même, autrement dit que M est un élément de M. Cela est contradictoire avec la définition de M. On en déduit que M ne se contient pas lui-même. Mais dans ce cas, M est un ensemble qui n'est pas élément de lui-même et devrait à ce titre faire partie de M. Ainsi naît le paradoxe.
Il montre la contradiction de la théorie des ensembles au sens de Cantor, théorie dite naïve (théorie naïve des ensembles).