Triangle de Pascal
En mathématiques, le triangle de Pascal est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. À la ligne i et colonne j (0 ≤ j ≤ i) est placé le coefficient binomial .
Le triangle de Pascal se généralise aisément à des dimensions supérieures. La version tridimensionnelle s'appelle la pyramide de Pascal ou le tétraèdre du Pascal.
En écrivant la formule de Pascal,
- pour tous entiers i et j tels que 0 < j < i,
- .
- nous plaçons dans la colonne 0 des 1 à chaque ligne, et des 1 à chaque entrée de la diagonale,
- en partant du haut et en descendant, nous complétons le triangle en ajoutant deux coefficients adjacents d'une ligne, pour produire le coefficient de la ligne inférieure, en dessous du coefficient de droite.
| 1 | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | ||||||||||||
| 1 | 2 | 1 | |||||||||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | ||||||||||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |||||||||
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||||||||
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | |||||||
| 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | ||||||
| 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | |||||
| 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | ||||
| 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 | |||
| 1 | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 1 | ||
| 1 | 12 | 66 | 220 | 495 | 792 | 924 | 792 | 495 | 220 | 66 | 12 | 1 | |
| 1 | 13 | 78 | 286 | 715 | 1287 | 1716 | 1716 | 1287 | 715 | 286 | 78 | 13 | 1 |
| Table of contents |
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2 Algorithme de construction 3 Histoire 4 Voir aussi |
La triangle du Pascal est souvent utilisé dans les développements binomiaux. Par exemple
Par ailleurs, quand le triangle de Pascal est construit avec une longueur 2n, en supprimant tous les nombres impairs, nous obtenons une approximation du triangle de Sierpinski.
Utilisations du triangle de Pascal
Notez que les coefficients de chaque monôme, sont ceux de la troisième ligne du triangle de Pascal, c'est à dire 1, 2, 1. Ainsi quand nous effectuons un développement de la forme
les coefficients sont ceux qui se trouvent sur la n+1ème ligne du triangle de Pascal.Algorithme de construction
Écrivons l'algorithme, en langage formel, de construction du triangle de Pascal. Notez que cet algorithme crée une nouvelle ligne à partir de la précédente.Variables :
Tableau de 1 à 50 de tableau de 1 à 50 d'entiers c (tableau bidimensionnel)
Entiers i, j, n
n ← 10
c[0][0] ← 1
pour i de 1 à n faire
c[i][0] ← 1
c[i][i] ← 1
pour j de 1 à n-1 faire
c[i][j] ← c[i-1][j-1] + c[i-1][j]
afficher_tableau(c)
Histoire
Le triangle de Pascal, n'a pas été découvert pour la première fois dans l'Histoire par Blaise Pascal, mais la source la plus ancienne remonte à Omar Khayyam au XXe siècle.
